Love♡を伝えよう！①　♡グラフの足し合わせでハート関数を考える♡

だーーーーーいすき！！！

な気持ちを伝えるとき、あなたならどうしますか？？

 

そのまま直接会って伝えたり、あるいは会って話すのは緊張するから電話越しに、あるいはそれでも緊張するから手紙やライン越しに好きを伝えたりする人もいるでしょう。

え？ちなみに私ならどうするかって？それはもちろん関数で伝えます。

恥ずかしがりやさんなので(><;)

例えば、こんなシチュエーションを想像してみてください

 

「x2+(y-3√x2)2=1」

 

なんてぱっと見よくわからない関数が突然LINEに届きました。グラフアプリに入力してみると…

 

なんとハートが浮かび上がってきました！

 

こんなことされちゃうと私は一瞬で惚れちゃいます。きゃー！ロマンチックですね！

 

 

これは検索したらヒットするようなありふれた語り文句的関数です。でも、実際検索をかけてみるとわかると思うんですが、ハート関数について「よくわからないですがこうです」とかいう人が多いんですよね。

 

せっかく自分がこの式をプレゼントしたとしても、「なんでこうなるの？」といわれて答えられないと、知らんと送ってきたんかい！っと突っ込まれてしまいます。。

 

なので、今回は、

ハート関数をなんとなくわかるようになることを目標に学んでいきましょう。

あなたの恋が届きますように。。。

 

 

～グラフの形の考え方～

まず、本題に入る前に、グラフの形を見るための方法を確認しましょう。

 

  1. xを代入して出たyをプロットしていく
  2. 微分
  3. グラフを足し合わせて考える

 

 

1.原始的で正確。でも大きすぎる数字を代入すると計算が大変になります。そうでなくとも三角関数やlogなど具体的な値がわかりにくいときにはなかなか対応できません

 

2.微分を既習済の方はご存じの通り増減表を書いて微分をすればグラフが上向きか下向きか、⤴こんな上がり方なのか…とかが細かく分かりますね。ただこれも計算が大変だったりします。

 

しかしグラフの概形を見る方法はそれだけではありません…3.のグラフを足し合わせて考える方法もとても有効です。こちらの足し合わせる考え方は簡単！で便利！です。

 

 

 

唐突ですが問題です。

y=x+[x]のグラフはどのようなものか？ただしここで[x]はxを超えない最大の整数を指すとする。

 

 

[x]はガウス記号として習った人も多いと思います。

[0]=0, [0.1]=0, [0.2]=0, ...[0.9]=0, [0.99999...9]=0, [1]=1,…[1.9]=1,[2]=2

のように、周期ごとに一定の値をとるようなことを表すときによく使います。

 

周期ごとに飛び飛びで一定の値を取る、のわかりやすい例で言うと、○○世紀とかがありますね。（ちなみに西暦x年がy世紀とすると、y=[0.01(x-1)]+1で表されます。例はわかりやすいけど式はそんなにわかりやすくない…）

でもまぁ、日常にもガウス記号的な考え方は意外とあふれています。ゆうパックの値段とか。

 

 

（グラフアプリではfloor関数という名前でよく定義されています。日本語では床関数という名前です。 ）

 

y = [x] ( y = floor( x ) )のグラフ

ガウス記号はこのようにxが"1"周期でy方向に1つ上にぴょんっと飛ぶグラフになります

 

 

ガウス記号のグラフを確認したところで、問の式に戻ります。

この問いの式は、見た感じf(x)=x、g(x)=[x]とおくと、y=f(x)+g(x)のようにがっちゃんこ！したような感じになっていますね。f(x)=xはお馴染みの斜め45度の線です

 

とりあえず細かい説明は後回しにして、先に答えを見てしまいましょう。

 

y = x + [x] のグラフ

 

これ、斜め45度の線の式にxが1周期でy方向に1つ上にぴょんっと飛ぶ式が上乗せされたグラフになっているのがわかるでしょうか。そう！これがとても大事なのです。

 

一般的に、y=f(x)+g(x)の形の陽関数は、f(x)とg(x)を上乗せ合体させたようなグラフで書くことが可能になります。いわれてみれば当たり前じゃん！って思う人もいるかもしれませんが、とりあえず今日の話題で超超超々～～～大事な考え方なので頭に入れたままこのまま読んでいってください。

 

 

 

 

本題:x2+(y-x2/3)2=1とは？

ではこの式、何がどうなっているのでしょうか？？？初見じゃ意味不明ですね。

なんとなく半径が１の円の方程式のx2+y2=1に似てるなー…とは思うかもしれません。実際y2の場所に(y-4)2とか(y+6)2だとかのように数字を入れたものは、グラフの移動として今までもよく使ったことがあると思います。でもこれはいったい…？？

 

いったん、先章の誘導に沿って考えてみてください。これを陽関数表示にしてみたいと思います。計算を端折らないで書くと

 

x2+(y-x2/3)2=1

 

(y-x2/3)2=1-x2

 

y-x2/3=±√(1-x2)

 

y = ±√(1-x2) + x2/3

 

になりますね。これ、さきほどのように分解して考えてみるとこのように分解できると思います。

  1. f(x) = ±√(1-x2) 
  2. g(x) = x2/3

 

1.のグラフ、整理するとx2+y2=1、そうやはり円のグラフが隠れていました。

2.のグラフは、y軸対象になっている反り返ったvのような形です。

 

 

x2+(y-x2/3)2=1の♡と、円とy=x2/3のグラフたち

 

ON,OFFスイッチで視覚的にわかりやすくなります。試してみてください。

y=g(x)であるグラフの上下に、0(左端)→1(中)→0(右端)の長さになめらかに変化するグラフががっちゃんこ！したようなグラフになっているのがわかるかと思います。

0(左端)→1(中)→0(右端)の長さになめらかに変化するグラフとは円の方程式をあらわしたグラフのことですね！

 

 

x2+(y-x2/3)2=1、すなわち

y = ±√(1-x2) + x2/3の意味は、v 字の上下に0(左端)→1(中)→0(右端)の長さになめらかに変化するグラフをくっつけたような形になるという意味だったんだ！確かにハートっぽくなりそうって想像はできました？

 

 

 

 

まとめだよん

  • y=f(x)+g(x)というように関数の足し算を考えると、f(x)とg(x)を上乗せ合体させたようなグラフを書くことが可能
  • ハートのグラフは、円の方程式とv字を重ねて作られていた！！

 

ここまで読んでくださりありがとうございました。これで恋人に「なんでこんな形になるの？」と聞かれても、えっそのあの…（こたえられない）という悲惨なことにならずに済みますね！！やったね！

 

上乗せ合体という考え方はお絵描きだけでなく、入試の概形を調べるときの検算みたいなテクニックとしても使えたりします。微分しか知らなかった～って人はぜひ覚えてみてください！

お勉強編　　ここはいったいどこだろう。～座標のお話～（中学1年生レベル）

最初に

はじまりました、待望の第一弾です！

 

さっそくですが、 この世は二つの線が存在します。そう、曲線と直線ですね。細かいことをいうと直線は曲がってる度合い（曲率）が"0"の曲線なんですが…とにかく、どんな目に見えるものも直線と曲線をつなぎ合わせることで紙に書くことができます。

 

ところで、一点透視図法はご存じでしょうか。美術の授業で習った人も多いと思いますが、簡単にいうと「一つの点に奥行きが向かっている」ように立体を表現する技です。

 

 

こんな感じ。緑の箱が立体的に見えますか？点に吸い込まれるように置かれていますね。ちなみにこの点のことを消失点と呼びます。

一点透視図法を使えば、バシィィィっと決まったきれいな立体表現ができます。ステキ！！！

 

 

 

 

座標のお話

 

 

①数直線

小学校三年生のときに、数を表す概念として”数直線”を習いました。

 

数直線とは、0を基準に（一般的には右方向に）どれだけ進んだか、を表すものでしたね。

マイナスの概念は中学一年生で習いますが、左方向に進むときは－の符号をつけて数字を考えればよいです。

 

例：右に５進んだ→５

　　左に４進んだ→右に－４進んだ →－４

 

下のグラフは点を動かせるようになっているはず（何かのバグで出来なければごめんなさい💦）なので、確認してみましょう！

 

 

 

 

②xy平面座標

中学生一年生になって、”yがxに比例する”というものについて習います。

比例というのは、「xが倍になれば、yも倍になる」ようなものですね。

 

例えば

 

「一つ10円のうまい棒をx個買えば、値段はy円である」

 

という文章の関係を、xとyを使って表せますか？

 

 

…そうですね、y=10xになりますね。ちなみにさらっと確認ですが10xという表記は10×xという意味です。10a=10×aのように、文字のかけ算は”×”を省略することができるんでしたね。

 

xが1のとき、yは10。xが2のとき、yが20。xが4のとき、yが40…のようにxが倍になればyの値も倍になっているのがわかると思います。

 

 

ここで、下線を引いた部分に注目してみます。「xが○、yが△」という塊として見ることができると思います。それを、（）でまとめて（○ , △）と表現してみましょう。

 

（ 1 , 10 ）。（ 2 , 20 ）。（ 4 , 20 ）…

 

こんな風に表現できるかと思います。この表記方法は今後大事なので覚えていってください。

 

 

これも、先ほどと同じように数直線上に目で分かるように書きたいとします。

 

書くとするならばどうすればいいんだろう…？！そうだ！数直線を二つ作ってあげればいいんだ！っていう発想になったのが以下のようなグラフです。

 

右にどれだけすすんだか、という今までの数直線にプラスして、上にどれだけ進んだか、というものを作ってあげると二つの情報を得られますね。

 

 

例えば、「xが2 , yが4」ということを数直線で表すとすると赤い点の場所になります。この点の場所のことを( 2 , 4 )と書くのでしたね！

 

練習として、「xが5 , yが-3」、すなわち( 5 , -3 )という場所に点を動かしてみましょう。

 

このように、左右、上下に数直線を配置した図のことはxy平面と呼ばれます。また、xy平面での点のことを座標と呼びます。また、一般に、( 2 , 4 )のような座標の読み方は、「に、よん」のように読みます。後からの記事ではそう呼ぶのでこの呼び方はしっかりと覚えておきましょう。

 

 

もう一問だけ練習しましょうか。一番最初の一点透視図法のグラフです。消失点の座標はどこでしょう？

 

 

簡単ですか？座標の書き方は、( "右に移動した数" , "上に移動した数" )　なので

（ 2 , 2 ）ですね！にーにー！

 

まとめ

xy平面の「どの点を通りたいか」という考えは今後のお勉強でとても重要になってきます。座標という言葉に慣れることはとっても大切なので、慣れていない方は慣れましょう！それでは、Have a nice math!!

 

グラフでお絵描き　はじまりの間（みんなもグラフお絵描きしよう♡）

はじめに

数式お絵描きとは「Desmos」「GeoGebra」「GRAPES」などといった数学ソフトウェアに、数式を並べることで曲線や領域を表現するお絵かきのことです。中学一年生に「yがxに比例する関数」を習ってからグラフの書き方をたくさん学ぶかと思いますが、それを用いて例えばこんーなものやあーんなものまで作っちゃおう！っていうお遊びです。

例. メタモンのへんしん by コロちゃんぬさん
www.desmos.com



このブログは、グラフお絵描きのいろいろを書いていくブログとなっております。
 
例えばバレンタイン、好きな人に「x2+(y-log(|x|+0.1))2=1」って書いた手紙を渡されて、これなんだろうって思って調べてみると、ハート♡の形になってるんですよ！そういうことができるとキュンってしませんか？しますよね？そうですよね！？そうって言ってください！？！？（強引）
 
 
 
まぁちょっとした冗談はさておき、技術をちょちょいっと身に付けたら、最悪something to write withとsomething to write onがあればできる暇つぶしの一つになるんですよね。あとは高校生以下向けに単純にお勉強って楽しく学ぶと頭に入ってきやすくなるし、これ覚えて何の意味あるん？で使わずに終わっていたら義務教育の頃から長年費やしてきたせっかくの学校でのお勉強時間がちょっともったいないなーって個人的に思うので。特に数学ってそう思われがちな気がしますね。悲しい。
 
この記事を読んでくれている人はおそらくもともと数学が好きな人が大半だと思うのですが、そうでない、数学がそんなに好きではない人にも、”数学って楽しいな”って気持ちになれるような記事を届けられたらいいなぁ、と思っています。それでは！